高中数学知识点全集完整版

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《高中数学知识点全集完整版》精彩片段

2.2全称量词与存在量词

一、全称量词命题与存在量词命题

关察下列命题：

（1）所有正方形都是矩形；

（2）每一个有理数都能写成分数的形式；

（3）对于任意的正实数k，Y=kx+b。的值随x的增大而增大；

（4）空集是任何集合的子集；

（5）一切三角形的内角和都等于180度。

以上命题中，所有，每一个，任意，任何，一切都是在指定范围内表示整体或全部的含义。

抽象概括

在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题，叫做全称量命题。在命题中诸如“所有每一个任意任何一切”这样的词叫做全称量词，读作对任意的

例如，对于任意的实数x，都有x的平方≥0可表示为对任意的x∈R，有x的平方≥0·

在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略，例如所有的正方形都是矩形，可以简写为正方形是矩形。

例4 判断下面命题是不是全称量命题，如果是，指出其中的全称量词：

（1）所有的正方形都是平行四边形；

（2）能被五整除的整数末位数字为0。

解：（1）所有的正方形都是平行四边形，是全称量词命题，“所有”是全称量词。

（2）能被五整除的整数末位数字为0，可以表述为所有能被五整除的整数，末位数字都为0。它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”

有一些数学命题，是对个体或整体的一部分的判断。例如：

（1）有些三角形是直角三角形；

（2）在素数中，有一个是偶数；

（3）存在实数x，使得x的平方加x减1等于0。

以上命题中，“有些有一个存在”都有表示个别或一部分的含义。

抽象概括

在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫做存在量词命题。在命题中，诸如“有些有一个存在”这样的词叫作存在量词，用符号彐表示，读作存在。

例如，存在实数x，使得x的平方加x减1等于0。可表示为存在x∈R，使x平方加1减1等于0。

例5 判断下列命题是不是存在量使命题，如果是，指出其中的存在量词：

（1）存在一个无理数x，是x的平方也是无理数；

（2）存在x∈R，使x的平方加x加1等于0。

解：（1）存在一个无理数x，10x的平方也是无理数，是存在量词命题。存在是存在量词

（2）存在x∈R，是x的平方加x加1等于0，是存在量词命题。⺕（即存在）是存在量。

二、全称量词命题与存在量词命题的否定

在数学的讨论中， 有时要给出一个命题的否定，例如，在反证法的证明中，要先假设命题的否定成立。

当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题。

实例分析

对任意的x∈R，有x+1＞0是一个全称量词命题，如何否定它呢？

要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x+1＞0不成立，即找到一个实数x，使x+1≤0，也就是存在x∈R，使x+1≤0，它是一个存在量词命题。

抽象概括

一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立。

全称量词命题的否定是存在量词命题。

对于全称量词命题p：对于任意的x∈M，x具有性质p（x），通常把它的否定表达为存在x∈M，X不具有性质p（ⅹ）·

抽象概括

一般地，要否定一个存在量词命题，需要判断给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立。

存在量词命题的否定是全称量词命题。

对于存在量词命题p：存在x∈M，X具有性质p（x），通常把它的否定表示为

对于任意的x∈M，x不具有性质p（x）·

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